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道歉
陶哲轩: 这非常类似于纳维-斯托克斯方程中，你知道，大多数时候你的波可以分散。可能只有一个初始条件的离群选择会导致你“爆破”。也可能只有一个你代入的特殊数字的离群选择，它会趋向无穷大，而所有其他数字都趋于一。事实上，有一些数学家，例如亚历克斯·孔托罗维奇，他们提出实际上，这些科拉茨迭代就像这些元胞自动机。如果你观察它们在二进制中是如何呈现的，它们确实有点像生命游戏类型的模式。类比于生命游戏如何能够创造出这些巨大的、类似自我复制的物体等等，你可能可以创造出某种重于空气的飞行器，一个数字实际上编码了这台机器，而这台机器的任务就是创造一个更大版本的自身。
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美对贸易伙伴设最低基准关税
而iPhone XS和iPhone XS Max被奉为“神机”的另外两个原因，一个是价格低，一个是够用。一方面，苹果的A12芯片性能够用，比iPhone X好不少，弧面边框手感好，还有全面屏设计，这些要素放在今天在他们眼中都不算过时，二手价格在500-1000元不等，现在看某二手平台，这两款机型还是“近期热搜”。
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爷爷为夺回孙子被人贩踩出眼珠
他们承认新款iPhone体验更好，只是这么多年的迭代脚步稳健，除了“更好用一些”，却没带来什么很吸引人的革新。以及有的人还会调侃，每代iPhone都支持，但每代都感觉“没换过”。这或许在侧面证明，苹果iPhone已经很多年没有实质性的创新。
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岁老戏骨狱中求婚与女友相差岁
所以，分拆出一个独立的“聊天机器人”来负责轻量级的AI应用就是个不错的方案，而且苹果似乎也在借此测试不同提示词系统，看看哪一套系统更高效，或者具备更好的理解能力。
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特朗普力推的对等关税是啥
莱克斯: 我必须问一下，你知道，你如何着手解决难题？如果可能的话，当你思考时，你会在脑海中将数学对象、符号可视化吗？当你思考时，你的脑海中通常会可视化什么？
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王安宇抹布文学
等到活动结束大合影，杨幂更是赶忙跑到一边，第一时间把C位让给章子怡和导演陈可辛，还和雷佳音、梅婷抢起了靠边位置，当场扯出了抢着结账的感觉，尴尬中带着几分喜感，回顾杨幂参加《酱园弄》宣传活动的一系列表现，与其说她情商高，不如说她怕了。
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缅甸地震已致超死
算术级数之所以坚不可摧，是因为无论你的集合看起来是随机的还是有结构的，比如周期性的，在这两种情况下，算术级数都会出现，但原因不同。这基本上就是这些定理的证明方式，这类算术级数定理有很多证明，它们都是通过某种二分法证明的，其中你的集合要么是有结构的，要么是随机的，在这两种情况下，你都可以得出一些结论...但在孪生素数中，如果质数是随机的，那么你就很高兴，你就赢了。但如果你的质数是有结构的，它们可以以一种特定的方式构造，从而消除孪生素数。而且我们不能排除那种阴谋。
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孤独症男孩因高颜值走红妈妈发声
现年52岁的布兰比拉去年11月重新接手尤文新一代，此后他率队出战了29场比赛，总成绩为13胜7平9负，尤文新一代也最终排名意丙C组的第9位。
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研究生不语只是一味的共鸣
今年50岁的里武海里马尼特拉·尼艾纳·拉多已在鹿王工作近20年。他说：“加入公司后，从学员到操作员，再到领班，这段经历让我收获很多。最让我自豪的是能将先进技术引入马达加斯加。”
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小猫把小狗脑袋扶正了
可照片中的幸福都是过往了，甜馨的配文是“想念变成空气在叹息”，看得出来，她也很怀念儿时那些父母都陪在身边的时光。
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特朗普力推的对等关税是啥
中非经贸合作近年来不断取得新进展。2024年，中非贸易额突破2955.6亿美元，增长4.8%，刷新历史纪录，中国连续16年稳居非洲第一大贸易伙伴国地位。当前，在“十大伙伴行动”引领下，中非企业正在加强全产业链深度合作，推动中非合作转型升级，为非洲经济可持续发展增添动力。
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长期睡眠不足的人长什么样
陶哲轩: 事实上如此相似，那是我纳维-斯托克斯项目的一个灵感来源。康威研究了科拉茨问题的推广，在这些推广中，不再是乘以3加1或除以2，而是有更复杂的分支规则。但不再是只有2种情况，你可能有17种情况，然后数值会上下波动。他表明，一旦你的迭代足够复杂，你实际上可以编码图灵机，并使这些问题变得不可判定，以及做类似的事情。事实上，他为这类分数线性变换发明了一种编程语言。他将其命名为“弗拉克拉特”（FractRat），是对“Fortran”的文字游戏。他展示了即使在系统过于不完整的情况下，你也能进行编程。你可以编写一个程序，如果你插入的数字被编码为质数，它就会降至零。它会下降，否则就会上升，诸如此类。所以这类普遍问题的复杂程度，真的与所有数学一样。
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我的女儿张诗琪她来过这个世界
正如奥布拉克所说：“我们会在训练中戴上眼罩，稍微遮挡视线，使训练变得更困难，最终，在门将的训练中，我们会尝试各种方法，有很多变化，但我们始终努力增加难度。”
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特朗普宣布实施所谓对等关税
陶哲轩: 是的，它指出，如果从乘性角度来看，例如对于只涉及乘法不涉及加法的问题，质数的行为确实和你所期望的一样随机。概率论中有一种现象叫做平方根抵消，如果你想就某个问题对比如美国进行民意调查，而你只询问一两个选民，你可能就抽到了一个有偏差的样本，从而对总体平均值得到一个非常不精确的测量。但是如果你调查越来越多的人，准确性就会越来越高。准确性会随着你调查人数的平方根而提高。所以如果你调查一千人，你可以得到大约2-3%的误差范围。
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孟子坤家暴
陶哲轩: 数学关注的是模型。科学收集观测结果，并提出可能解释这些观测结果的模型。数学所做的是，我们停留在模型之内，并询问该模型会产生什么结果？模型会针对未来的观测或过去的观测做出什么样的观测结果，什么样的预测？它符合观测数据吗？所以，这确实是一种共生关系。我想数学在其他学科中是独特的，因为我们从假设开始，比如一个模型的公理，然后询问从该模型中能得出什么结论。在几乎所有其他学科中，你都是从结论开始，比如我想做这个，我想建一座桥，我想赚钱，我想做这个，然后你找到实现目标的路径。很少有人会推测“假设我这样做，会发生什么？”规划与建模。也许，科幻小说是另一个特例。但实际上，也就这些了。我们生活中所做的大多数事情都是结果导向的，包括物理学和科学。我的意思是，他们想知道这颗小行星会去哪里？明天的天气会怎样？但数学也有另一个方向，那就是从公理出发。
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刷信用卡买万黄金转手赚数万
当天，在纽约市，同样爆发了近期最大规模抗议活动。据当地媒体估计，超过五万人参加了当天的抗议活动。纽约市政府称，数千名警察投入秩序维护工作。
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公开
陶哲轩: 是的，你也可以修改问题。我的意思是，是的，你可以添加一些“作弊”手段。如果-有某个特定的东西阻碍了你，某些你的工具无法处理的糟糕情况反复出现，你可以武断地假定这种糟糕情况不会发生。所以你进行了一些魔法思维，但从战略上讲，没关系，这只是为了看看论证的其余部分是否成立。如果你的方法存在多个问题，那么也许你就放弃了。但如果这只是唯一的问题，而其他一切都无懈可击，那么它仍然值得为之奋斗。是的，你有时需要进行某种前瞻性侦察。有时，这种假设——好吧，我们最终会解决的——是有成效的。
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白宫回应马斯克辞职
座谈会上，家长们惊叹于AI+教育的创新魅力，钦佩于学校领导的先进理念，感动于学校在智慧教育探索中的不懈努力。家长说：“感谢学校，感谢康乐，希望孩子从好变为更好，也期待能继续参与学校的每一次活动。”还有家长表示：“我们有义务、有责任宣传和推广学校，让更多人走进康乐享受先进优质的教育资源。”
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价格公布
双方俱乐部还讨论了在交易中加入贝伦布鲁赫的可能性，该方向的评估仍在进行中。唯一可以确定的是，国米目前已经击败了所有竞争者。事实上，在得知国米对他感兴趣后，邦尼本人便没有考虑过其他选项。
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曝王玉雯杨玏已分手
陶哲轩: 黎曼（假设）名列其中。P对NP问题是个不错的选择，因为它是一个元问题。比如，如果你以肯定的方式解决它，也就是说能找到一个P对NP的算法，那么这可能也会解决许多其他问题。
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